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2021考研數學高数夯实基础知識點:导数与微分

来源:中公考研 | 更新时间:2019-10-08 17:15:20

  有很大一批人因为數學差而对考研望而却步,其实數學没有那么可怕。而高数又是考研數學中最难的,作为重中之重,中公考研小编就带大家一起梳理一下考研數學高数重要考点知識點。中公考研小编整理了“2021考研數學高数夯实基础知識點:导数与微分”的相关内容,希望对大家有所帮助。

  在研究生入学考试中,高等數學是数一、数二、数三考试的公共内容。高等數學包含函数极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块,今天我们要梳理的内容是导数与微分,属于一元函数微分学的内容。一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数的应用三方面内容,接下来我们对这一部分的考试内容,考试要求及常考题型来进行说明。

  1、考試內容

  (1)導數和微分的概念;

  (2)導數的幾何意義和物理意義;

  (3)函數的可導性與連續性之間的關系;

  (4)平面曲線的切線和法線;

  (5)導數和微分的四則運算;

  (6)基本初等函數的導數;

  (7)複合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法;

  (8)高階導數;

  (9)一階微分形式的不變性;

  (10)微分中值定理;

  (11)洛必達法則;

  (12)函數單調性的判別;

  (13)函數的極值;

  (14)函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線;

  (15)函數圖形的描繪;

  (16)函數的最大值和最小值;

  (17)弧微分、曲率的概念;

  (18)曲率圓與曲率半徑(其中16、17只要求數一、數二考試掌握,數三考試不要求)。

  2、考試要求

  (1)理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,理解函数的可导性与连续性之间的关系;(2)了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量(数一、数二要求,数三不要求);(3)掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分;(4)了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数;(5)会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数;(6)理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理;(7)掌握用洛必达法则求未定式极限的方法;(8)理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用;(9)会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形;(10)了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,會計算曲率和曲率半径(数一、数二要求、数三不要求) 。

  3、常考題型

  (1)導數定義;(2)求顯函數、隱函數、分段函數、積分上限函數、冪指函數等各種類型的導數與微分;(3)利用函數的單調性證明不等式;(4)求函數的極值與最值;(5)曲線的凹凸性、拐點、漸近線;(6)證明函數不等式;(7)方程根的存在性與個數;(8)洛必達法則求函數極限;(9)用介值定理、零點定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理證明不等式。

  4、複習建議

  (1)加強對基礎概念的理解

  加強對基礎概念的理解是學習這一部分的關鍵。原因有兩個:第一:導數這章內容相對比較簡單。比如求導公式,大家在高中就接觸過。第二:考研中考得最多的就是對導數概念的理解以及對導數應用中極值概念的理解。比如在求分段函數分段點的導數要用導數的定義來求,同學們就經常直接求一側函數的導數再算極限,而這種情況只有建立在導函數連續的基礎上才成立。從這些概念本身來看,相對來說比較簡單,但是考法卻是比較深入。所以,希望同學們要加深對本章概念的理解,千萬不要一知半解就開始盲目的做題。

  (2)加強對常考點的掌握

  本章相對比較簡單,而且重難點分明。具體來說,分爲三個章節。第一部分:可導與可微。其中導數定義是重點。導數的定義幾乎是每年必考,而且考察的往往都是變形的形式,但實質上都是在考察對極限的理解。第二部分:導數計算。複合函數求導是重點,並在此基礎上掌握冪指函數求導,隱函數求導及參數方程求導。高階導數部分,大家要掌握常見函數高階導數的六大公式及萊布尼茲公式。第三部分:導數的應用。其中極值本身的概念也是一個很大的考點,包括極值的必要的條件以及極值的第一和第二充分條件。每年考研都會有一些相關的選擇題。同理,題目考察拐點的時候,同時也考察了凹凸性,導函數的單調性等概念。因此,拐點的概念是考察的一個方向,同時拐點的必要條件及第一和第二充分條件也是重要考點。請大家注意:只要學好極值及單調性,相應的凹凸性和拐點也可以類比遷移;極值研究的是一階導的正負號,相應的凹凸性研究的是二階導的正負號。

  (3)多練題,提高計算能力

  在大家理解了重點知識以及明確了考試重點之後,接下來就需要做題鞏固了。針對考試要求的每個考點進行做題鞏固,關鍵是每做一個題要掌握這道題的解題思路,基本就是從已知條件怎麽找到聯系結果的突破點;另外對于每一類題型要做到勤總結,多整理錯題本,以便每次回顧使用。

  以上是中公考研为考生整理的“2021考研數學高数夯实基础知識點:导数与微分”的相关内容,希望对大家有帮助,更多數學高数复习知识尽在中公考研數學高等數學頻道!

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【責任編輯:趙白雪】

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